Partie A : conjectures

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représentée, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle ainsi que la droite horizontale d'équation \(y=a\) avec \(a\) un réel strictement positif.

1. a. À l'aide du curseur, faire varier la valeur de \(a\), observer que l'équation \(\text{e}^x=a\) semble avoir une unique solution sur \(\mathbb{R}\).
    b. On admet que l'équation \(\text{e}^x=a\) a une unique solution sur \(\mathbb{R}\), on la note \(\text{ln}(a)\). On l'appelle logarithme népérien du réel \(a\). Expliquer pourquoi on a \(\text{ln}(1)=0\), \(\text{ln}(\text{e})=1\) et \(\text{ln}(\text{e}^{-1})=-1\).

2. a. Déterminer graphiquement une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\)\(\), de \(\text{ln}(3)\) et de \(\text{ln}(6)\). Quelle relation semble exister entre les réels \(\text{ln}(2) , \text{ln}(3)\) et \(\text{ln}(6)\) ?
    b. Conjecturer alors une relation entre \(\text{ln}(a) , \text{ln}(b)\) et \(\text{ln}(a\times b)\) avec \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.